Exercice 7
:
Un volume constant de 2 200 m
3
d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
On modélise les deux échanges entre les deux bassins de la façon suivante:
Au départ, le bassin A contient 800 m
3
d'eau et le bassin B contient 1 400 m
3
d'eau.
Tous les jours, 15 % du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A.
Tous les jours, 10 % du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel
n
, on note :
a
n
, le volume d'eau exprimé en m
3
, contenu dans le bassin A à la fin du
n
-ième jour de fonctionnement.
b
n
, le volume d'eau exprimé en m
3
, contenu dans le bassin B à la fin du
n
-ième jour de fonctionnement.
On a donc : a
0
= 800 et b
0
= 1 400.
1°)
Par quelle relation entre a
n
et b
n
traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
2°)
Justifier que pour tout entier naturel
n
, a
n+1
= 3/4 a
n
+ 330.
3°)
L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de
n
à partir de laquelle a
n
est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme, en recopiant les parties manquantes.
4°)
Pour tout entier naturel
n
, on note u
n
= a
n
- 1 320.
a°) Montrer que la suite (u
n
) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b°) Exprimer u
n
en fonction de
n
.
En déduire que, pour tout entier naturel
n
, a
n
= 1320 - 520 × (3/4)
n
